7.4.4 Muestreo aleatorio estratificado

Un muestreo aleatorio estratificado es aquel en el que se divide la población de N individuos, en k subpoblaciones o estratos, atendiendo a criterios que puedan ser importantes en el estudio, de tamaños respectivos N₁, ..., N_k,

$$N= N_1+N_2+\cdots+N_k$$

y realizando en cada una de estas subpoblaciones muestreos aleatorios simples de tamaño n_i $i=1,\dots,k$.

A continuación nos planteamos el problema de cuantos elementos de muestra se han de elegir de cada uno de los estratos. Para ello tenemos fundamentalmente dos técnicas: la asignación proporcional y la asignación optima.

7.4.4.1 Ejemplo

Supongamos que realizamos un estudio sobre la población de estudiantes de una Universidad, en el que a través de una muestra de 10 de ellos queremos obtener información sobre el uso de barras de labios.

En primera aproximación lo que procede es hacer un muestreo aleatorio simple, pero en su lugar podemos reflexionar sobre el hecho de que el comportamiento de la población con respecto a este carácter no es homogéneo, y atendiendo a él, podemos dividir a la población en dos estratos:

• Estudiantes masculinos (60% del total);
• Estudiantes femeninos (40% restante).

de modo que se repartan proporcionalmente ambos grupos el número total de muestras, en función de sus respectivos tamaños (6 varones y 4 mujeres). Esto es lo que se denomina asignación proporcional.

Si observamos con más atención, nos encontramos (salvo sorpresas de probabilidad reducida) que el comportamiento de los varones con respecto al carácter que se estudia es muy homogéneo y diferenciado del grupo de las mujeres.

Por otra parte, con toda seguridad la precisión sobre el carácter que estudiamos, será muy alta en el grupo de los varones aunque en la muestra haya muy pocos (pequeña varianza), mientras que en el grupo de las mujeres habrá mayor dispersión. Cuando las varianzas poblacionales son pequenãs, con pocos elementos de una muestra se obtiene una información más precisa del total de la población que cuando la varianza es grande. Por tanto, si nuestros medios sólo nos permiten tomar una muestra de 10 alumnos, será más conveniente dividir la muestra en dos estratos, y tomar mediante muestreo aleatorio simple cierto número de individuos de cada estrato, de modo que se elegirán más individuos en los grupos de mayor variabilidad. Así probablemente obtendríamos mejores resultados estudiando una muestra de

• 1 varón.
• 9 hembras.

Esto es lo que se denomina asignación óptima.

  
7.4.4.2 Asignación proporcional

Sea n el número de individuos de la población total que forman parte de alguna muestra:

$$n=n_1+ n_2+ \cdots +n_k$$

Cuando la asignación es proporcional el tamaño de la muestra de cada estrato es proporcional al tamaño del estrato correspondiente con respecto a la población total:

$$n_i = n\cdot \frac{N_i}{N}$$

  
7.4.4.3 Asignación óptima

Cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales en cada uno de los estratos, n_i, los elige quien hace el muestreo, y para ello puede basarse en alguno de los siguientes criterios:

• Elegir los n_i de tal modo que se minimice la varianza del estimador, para un coste especificado, o bien,
• habiendo fijado la varianza que podemos admitir para el estimador, minimizar el coste en la obtención de las muestras.

Así en un estrato dado, se tiende a tomar una muestra más grande cuando:

• El estrato es más grande;
• El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza);
• El muestreo es más barato en ese estrato.

Para ajustar el tamaño de los estratos cuando conocemos la dispersión interna de cada uno de los mismos, tenemos el siguiente resultado:

7.4.4.4 Teorema

[Asignación de Neyman] Sea E una población con N elementos, dividida en k estratos, con N_i elementos cada uno de ellos, $i=1,\dots,k$

$$\begin{eqnarray*}E &=& E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_k \\ N &=& N_1 + N_2 + \cdots + N_k \end{eqnarray*}$$

Sea n el número total de elementos al realizar el muestreo, y que se dividen en cada estrato como

$$n=n_1+ n_2+ \cdots +n_k$$

Sea X la v.a. que representa el carácter que intentamos estudiar. Sobre cada estrato puede definirse entonces la v.a.

$$\overline{X}_i$$

como el valor medio de X obtenida en una muestra de tamaño n_i en el estrato E_i. Sea ${ {{\bf Var } \left[ \overline{X}_i \right]} }$ la varianza de dicha v.a.; Entonces

$$\sum_{i=1}^k { {{\bf Var } \left[ \overline{X}_i \right]} }$$

se minimiza cuando

$$n_i = n\cdot \frac{N_i\cdot \hat{{\cal S}}_i}{\sum_{j=1}^k N_j \cdot \hat{{\cal S}}_j}$$

donde

$$\hat{{\cal S}}_i = \frac{1}{N-1} \sum_{j=1}^{N_i} (x_{ij}-\ov... ...x}_i\equiv\:\mbox{media poblacional de }E_i \end{array}\right.$$

es la cuasi-varianza del estrato E_i.