6.4.10 Distribución hipergeométrica

Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es

$$\begin{eqnarray}\html{eqn24}{{\cal P}_{rob}}[2 \mbox{ oros en un grupo de $8$\sp... ...{{ \left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)\,}} \nonumber \end{eqnarray}$$

En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja

$$p=\frac{D}{N}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4} \Longrightarrow \left... ...dot p \\ \\ N-D = N\cdot q \qquad (q=1-p) \end{array}\right.$$

de modo que podemos decir que

$${{\cal P}_{rob}}[k \mbox{ oros en un grupo de $n$\space carta... ...ght)\,}}{{ \left(\begin{array}{c} N\\ n \end{array}\right)\,}}$$

Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de distribución hipergeométrica. Diremos en general que una v.a. X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo $X{\leadsto}{ {{\bf HGeo} \left( N,n,p \right)} }$, si su función de probabilidad es

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[X=k] = \frac{{ \left... ...box{ \ \ si \ }\max\{0,n-Nq\} \leq k \leq \min\{n,NP\} $ } } }$$

6.4.10.1 Observación

Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a aproximarse a la binomial:

$${ {{\bf HGeo} \left( N,n,p \right)} } \stackrel{N\rightarrow \infty}{\longrightarrow} { {{\bf B} \left( n,p \right)} }$$

El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial,

$${ {{\bf E} \left[ X \right]} } = np$$

sin embargo su varianza

$${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }= npq\cdot \frac{N-n}{N-1}$$

no es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor, $\frac{N-n}{N-1}$, que tiende a 1 cuando $N\rightarrow\infty$. A este factor se le denomina factor de corrección para población finita.