4.8.4 Definición axiomática de probabilidad

Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de probabilidad:

• La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del $200\%$ni del $-5\%$;

• La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el $100\%$;

• La probabilidad del suceso imposible debe ser 0.

• La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,

  
  

  $${{\cal P}_{rob}}[A{\cap}B]\leq {{\cal P}_{rob}}[A]$$
  
  

  
  

  $${{\cal P}_{rob}}[A{\cap}B]\leq {{\cal P}_{rob}}[B]$$
  
  

• La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado:

  
  

  $${{\cal P}_{rob}}[A{\cup}B]\geq {{\cal P}_{rob}}[A]$$
  
  

  
  

  $${{\cal P}_{rob}}[A{\cup}B]\geq {{\cal P}_{rob}}[B]$$
  
  

  Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir que

  
  

  $$A{\cap}B=\emptyset \qquad\Longrightarrow\qquad {{\cal P}_{rob}}[A{\cup}B] ={{\cal P}_{rob}}[A]+{{\cal P}_{rob}}[B]$$
  
  

• La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer ${{\cal P}_{rob}}[\overline{A}]=1-{{\cal P}_{rob}}[A]$. Esto en realidad puede deducirse del siguiente razonamiento:

$$A{\cap}\overline{A} = \emptyset \;\Rightarrow\; 1={{\cal P}_... ...tarrow \; {{\cal P}_{rob}}[\overline{A}]=1-{{\cal P}_{rob}}[A]$$

En las últimas líneas hemos esbozado ciertas propiedades que debería cumplir una función que queramos llamar probabilidad. Hemos de tener en cuenta entonces que siguiendo esos puntos:

1.

La función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E. No es estrictamente necesario que sean todos, pero si es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, lo pueda ser también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, que también se pueda calcular sobre su unión y su intersección. Para ello introduciremos el concepto de $\sigma$-álgebra de sucesos, que será una clase de subconjuntos de Esobre los que podamos aplicar las reglas de la probabilidad.

2.

Entre las leyes que debe cumplir una función de probabilidad y que hemos escrito antes, hemos observado que algunas son redundantes, ya que se pueden deducir de las demás. Con la definición axiomática de la probabilidad pretendemos dar el menor conjunto posible de estas reglas, para que las demás se deduzcan como una simple consecuencia de ellas.

Precisemos entonces los conceptos de $\sigma$-álgebra de sucesos y de probabilidad.

4.8.4.1 Concepto de $\sigma$-álgebra de sucesos

Sea $\cal A$ una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos del espacio muestral E. Diremos que esta clase es un $\sigma$-álgebra de sucesos si los sucesos complementarios de aquellos que están en $\cal A$ también están en $\cal A$, así como sus uniones numerables (sean finitas o infinitas). Esto se puede enunciar como:

$${\cal A} \mbox{ es un $\sigma$ --álgebra }\Longleftrightarrow... ...ightarrow\, \bigcup_{i=1}^n A_i\in {\cal A} \end{array}\right.$$

4.8.4.2 Concepto axiomático de probabilidad

Dado un espacio muestral E, y un $\sigma$-álgebra de sucesos $\cal A$ sobre él, diremos que ${{\cal P}}$ es una probabilidad sobre $\cal A$ si las siguientes propiedades (axiomas) son verificadas:

        Ax-1.

La probabilidad es una función definida sobre $\cal A$ y que sólo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1

$$\begin{array}{rcl} {{\cal P}}\;:\;{\cal A} & \longrightarrow ... ...n {\cal A} & \longmapsto & 0\leq{{\cal P}}[A]\leq 1 \end{array}$$

        Ax-2.

La probabilidad del suceso seguro es 1

$${{\cal P}}[E]=1$$

        Ax-3.

La probabilidad de la unión numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades (figura 4.4):

$$A_1,A_2,\dots, A_n,\dots\: \in {\cal A} \Longrightarrow {{\c... ...i=1}^{\infty} A_i\right] = \sum_{i=1}^{\infty} {{\cal P}}[A_i]$$

  

Figura: El tercer axioma de probabilidad indica que si $A=A_1{\cup}A_2{\cup}\cdots$ con $A_i{\cap }A_j=\emptyset$, entonces ${{\cal P}}[A]={{\cal P}}[A_1]+{{\cal P}}[A_2]+\cdots$

4.8.4.3 Observación

La introducción de la definición de $\sigma$-álgebra puede parecer innecesaria a primera vista, ya que es una clase formada por subconjuntos de Eque verifican ciertas propiedades relativas a la complementariedad y a las uniones finitas que ya verifica de antemano el conjunto denominado partes de E, P(E), formado por todos los subconjuntos de E. Cuando el conjunto E de los posibles resultados de un experimento aleatorio sea finito, normalmente consideraremos como $\sigma$-álgebra de sucesos al conjunto P(E). Esto ocurre cuando por ejemplo realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado:

$$E=\{1,2,3,4,5,6\}$$

$${\cal A} = {P}(E) = \{ \emptyset, E, \{1\}, \{2\},\dots, \{1,2\}, \{1,3\},\dots,\{1,2,3\},\dots\}$$

Cuando E es infinito no numerable, la estructura del conjunto P(E) puede presentar propiedades extremadamente engorrosas. Entonces es más conveniente utilizar como $\sigma$-álgebra un subconjunto más pequeño suyo, pero no tanto que no nos permita realizar las operaciones de complementariedad o de uniones finitas que se precisan en la definición de un $\sigma$-álgebra. Por ejemplo, si realizamos el experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C¹⁴, se desintegre de modo natural, se tiene que

$$E=I\!\!R^+,$$

sin embargo, el $\sigma$-álgebra de sucesos que consideramos no es $P(I\!\!R^+)$, que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar consideramos el $\sigma$-álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas

$${\cal A} = \{ \emptyset,I\!\!R^+,\,(2,3)\, ,\, (4,5]{\cup}[8,+\infty)\,,\dots\}$$

lo que por supuesto incluye a los puntos de $I\!\!R^+$, ya que por ejemplo

$$\{2\}=[2,2].$$

Este tipo de conjuntos (los intervalos) son los que nos interesan en la práctica, v.g. calcular la probabilidad de que el peso en kilogramos de un niño al nacer esté en el intervalo [2,4]. De esto modo vamos a realizar el siguiente convenio a lo largo del libro:

No haremos en general referencia al $\sigma$-álgebra de sucesos más que cuando sea estrictamente necesario. De este modo cuando a partir de ahora se diga `` $A\subset E$'', nos referiremos implícitamente a que $A\in {\cal{A}}$, donde $\cal A$ es un $\sigma$-álgebra de sucesos asociado a E y sobre el que se ha definido la función de probabilidad.

Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, entenderemos que el $\sigma$-álgebra de sucesos es por defecto P(E).

Si E es un conjunto infinito no numerable como $I\!\!R$, $I\!\!R^+$, o subconjuntos suyos en forma de intervalos, entenderemos que el $\sigma$-álgebra asociada es la mencionada en el ejemplo anterior, es decir, la formada por todos los intervalos abiertos, cerrados o semi-abiertos (lo que incluye en particular a los puntos), y sus uniones finitas. De este modo podremos calcular probabilidades como las siguientes:

$${{\cal P}}[(2,3)]\;,\; {{\cal P}}[(2,5]{\cup}[4,7)]\;,\;{{\cal P}}[\{3\}]\;,\dots$$